Moritz Cantor

Moritz Benedikt Cantor (23 August 1829 – 10 April 1920) was a German historian of mathematics.

Quotes

• For Egypt, in my opinion, the one fact of experience was sufficient that there was a right-angled triangle 4, 3, 5. Then Pythagoras took the matter geometrically in hand and proved the theorem named after him by ascending in ancient Greek manner from individual case to individual case, finally to the quite general theorem. (Cantor 1905: 70).
  • Für Ägypten genügte nach meiner Auffassung die eine Erfahrungstatsache, daß es ein rechtwinkliges Dreieck 4, 3, 5 gebe. Dann nahm Pythagoras die Sache geometrisch in die Hand und bewies den nach ihm benannten Lehrsatz, indem er in altgriechischer Weise von Einzelfall zu Einzelfall, zuletzt zum ganz allgemeinen Satze aufstieg.
  • Cantor, Moritz. Über die älteste indische Mathematik, Archiv der Mathematik und Physik, Pg 70, 1905.in The Sulbasutras and the 'Pythagoras Theorem'

• […] should it […] boil down to the fact that individual parts of the Sulbasutras are relatively modern interpolations?
  • […] sollte es […] darauf hinauslaufen, daß einzelne Teile der Sulbasutras verhältnissmäßig moderne Einschiebsel sind?
  • Cantor, Moritz. Über die älteste indische Mathematik, Archiv der Mathematik und Physik, Pg 70, 1905.in The Sulbasutras and the 'Pythagoras Theorem'

Vorlesungen über Geschichte der Mathematik

Cantor, Moritz. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Leipzig, 1880. in The Sulbasutras and the 'Pythagoras Theorem'

• Therefore, we do not doubt for a moment that Pythagoras’ stay in Egypt, that the lessons he received from the priests there, were among the things that were common truth.
  • Wir zweifeln daher keinen Augenblick, dass der Aufenthalt des Pythagoras in Aegypten, dass der Unterricht, welchen er bei den dortigen Priestern genoss, zu den Dingen gehört, die landläufige Wahrheit waren. (Cantor 1880: 127)

• So much appears certain to us, that Pythagoras could have been in Babylon.
  • Als sicher gestellt erscheint uns damit so viel, dass Pythagoras in Babylon hätte gewesen sein können. (Cantor 1880: 128)

• Some of the things, which belong particularly to the history of mathematics, we will not refrain from attributing to Pythagoras himself. Among them is the Pythagorean theorem, which we want to preserve under all circumstances. (Cantor 1880: 129)
  • Einige von den Dingen, welche ganz besonders der Geschichte der Mathematik angehören, werden wir allerdings nicht verzichten Pythagoras selbst zuzuschreiben. Dazu gehört der pythagoräische Lehrsatz, den wir unter allen Umständen ihm erhalten wissen wollen. (Cantor 1880: 129)

• Pythagoras remarked, we think, that 9+16=25. When he made this under all circumstances interesting remark, he already knew, no matter from which source, the experienced fact that a right angle is constructed by assuming the measure numbers 3, 4, 5 for the lengths of the two legs and for the distance of the end points of the same. We have pointed out that the Egyptians and the Babylonians perhaps possessed the same knowledge that the Chinese certainly had (Cantor 1880: 153)
  • Pythagoras bemerkte, meinen wir, dass 9+16=25. Als er diese unter allen Umständen interesante Bemerkung machte, kannte er bereits, gleichviel aus welcher Quelle, die Erfahrungstatsache, dass ein rechter Winkel durch Annahme der Maasszahlen 3, 4, 5 für die Längen der beiden Schenkel und für die Entfernung der Endpunkte derselben construirt wird. Wir haben darauf hingewiesen, dass die Aegypter und die Babylonier vielleicht die gleiche Kenntniss besassen, dass die Chinesen ihrer sicherlich teilhaftig waren.

• Pythagoras, so we tried to prove, certainly acquired mathematical knowledge in Egypt, perhaps in the Euphrates countries. The former can be seen from the explicit traditions, as well as from the Egyptian character of some geometrical developments, the latter from the Babylonian seeming number differences of the Pythagoreans. The sum of geometrical knowledge, which was made accessible by Pythagoras and his school to the Greeks before the year 400, is not quite a minor one [...] It included the Pythagorean theorem […]. (Cantor 1880: 158)
  • Pythagoras hat, so suchten wir zu erweisen, sicherlich in Aegypten, vielleicht in den Euphratländern mathematisches Wissen sich angeeignet. Ersteres geht wie aus den ausdrücklichen Ueberlieferungen, so auch aus dem ägyptischen Gepräge mancher geometrischer Entwicklungen, Letzteres aus den babylonisch anmutenden Zahlendifteleien der Pythagoräer hervor. Die Summe des geometrischen Wissens, welches von Pythagoras und seiner Schule den Griechen vor dem Jahre 400 zugänglich gemacht wurde, ist eine nicht ganz geringfügige. […] Sie umfasste den pythagoräischen Lehrsatz und den goldenen Schnitt.

Gräko-indische Studien

Cantor, Moritz. Gräko-indische Studien, Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik, 1877.in The Sulbasutras and the 'Pythagoras Theorem'

• It is hardly conceivable that these writers [Aryabhata, Brahmagupta, Bhaskaracharya etc.], should have been unacquainted with the Greek sources, which were available to Varahamihira [the earliest of these writers]; it is even less conceivable that they [the Indian writers], acquainted with the same, did not let themselves be influenced by them [the Greek sources]. Thus, it is again a conclusion to be assumed in advance, only waiting for a confirmation, that Greek mathematics had brought its traces into those Indian works.
  • Es ist kaum denkbar, dass diese Schriftsteller [Aryabhata, Brahmagupta, Bhaskaracharya etc.], mit den griechischen Quellen, welche diesem zu Gebote standen, unbekannt gewesen sein sollen; es ist noch wenig denkbar, dass sie, mit denselben bekannt, sie gar nicht auf sich wirken liessen. Es ist somit auch wieder eine zum Voraus zu vermutende, nur auf Bestätigung angewiesene Folgerung, dass griechische Mathematik ihre Spuren in jene indische Werke hineingetragen habe.
  • in The Sulbasutras and the 'Pythagoras Theorem'

Quotes about Moritz Cantor

• But instead of Cantor admitting the independence or at least the relative independence of the Indians, i.e. the independence of their geometry from the Greeks, he expresses himself extremely tortuous, even he did not give up his Heron hypothesis by hiding it behind the doubtful question at the end, whether there are not at the end in the Sulbasutras relatively modern insertions.
  • Aber statt dass nun Cantor die Selbstständigkeit oder wenigstens die relative Selbstständigkeit der Inder, d.h. die Unabhaängigkeit ihrer Geometrie von den Griechen zugegeben, druckt er sich äusserst gewunden aus, ja selbst seine Heron-Hypothese gab er nicht auf, indem er sie hinter der zweifelnden Frage am Schluss versteckt, ob nicht am Ende in den Sulbasutras verhältnissmässig moderne Einschiebsel seien.
  • Simon, Max. Geschichte der Mathematik im Altertum. Berlin 1909.in The Sulbasutras and the 'Pythagoras Theorem' (Simon 1909: 138-139):

• Cantor concludes that Indian geometry and Greek geometry, especially of Heron, are related; and the only question is, Who borrowed from whom? He expresses the opinion that the Indians were, in geometry, the pupils of the Greeks.
  • Seidenberg, A, quoted in The Sulbasutras and the 'Pythagoras Theorem'